用拉伸法测杨氏模量

B5-237、31-611

用拉伸法测杨氏模量

一、实验背景与意义

杨氏模量是固体材料的重要力学性质之一。测量杨氏模量的方法有多种，如弯曲法、拉伸法、共振法等。前两种属于静态法，后一种属于动态法。实验 5.3A 介绍的是弯曲法，本实验介绍拉伸法。拉伸法常用于大形变、常温下的杨氏模量测量。

二、实验目的

  1. 学习用拉伸法测量金属丝的杨氏模量。
  2. 学习用读数显微镜测定微小伸长量的原理。
  3. 学习用逐差法或作图法处理实验数据。

三、实验原理

1. 杨氏模量的定义

设有一根粗细均匀的金属丝，原长为 ，横截面积为 。沿长度方向施加拉力 后，金属丝伸长量为 。

  • 单位面积上受到的垂直作用力 称为应力；
  • 相对伸长量 称为应变。

根据胡克定律，在弹性范围内，材料的应力与应变成正比，即

比例系数 称为该材料的杨氏模量，也称弹性模量。进一步变形得

若钢丝直径为 ，则截面积

因此

实验中拉力由悬挂砝码的重力提供，若砝码质量为 ，则 ，于是

只要测出 、、 和 ，即可计算杨氏模量 。

2. 微小伸长量的测量

式中：

  • （金属丝原长）可由米尺测量；
  • （钢丝直径）可由螺旋测微器测量；
  • （外力）可由钢丝下面悬挂的砝码重力 求出；
  • 是微小形变量，数量级约为 ，无法用一般长度测量仪器直接测量。

本实验采用读数显微镜测量 。

四、实验仪器

实验仪器包括：

  1. 杨氏模量测定仪；
  2. 螺旋测微器；
  3. 米尺；
  4. 测试样品。

杨氏模量测定仪中，右侧圆形区域为读数显微镜的视野区。仪器主要结构包括金属丝支架、金属丝夹持装置、小圆柱、砝码盘、钳形平台、读数显微镜等。

五、实验内容与步骤

1. 调节杨氏模量测定仪

  1. 如下图中，S 为金属丝支架，高约 ，可置于实验桌上。支架顶端设有金属丝夹持装置，金属丝长度可调，约 。金属丝下端夹持装置连接一小圆柱，圆柱中部有细横线供读数用，小圆柱下端附有砝码盘。
  2. 支架下方有一钳形平台，设有限制小圆柱转动的装置；支架底脚螺丝可调。
  3. 用底脚螺丝调节支架 S 竖直，使金属丝下端的小圆柱与钳形平台之间能无摩擦地上下自由移动。
  4. 调整金属丝下端夹具的夹持位置，使小圆柱两侧凹槽对准钳形平台两侧限制圆柱转动的小螺丝；同时对称地将螺丝旋入两侧凹槽中部，但不能夹死小圆柱。主要目的是防止小圆柱晃动和转动，从而影响读数。

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2. 调节读数显微镜

  1. 用读数显微镜观察金属丝下端小圆柱中部的细横线位置及其变化。目镜前方装有分划板，分划板上有刻度，刻度范围为 ，每隔 刻一数字。
  2. 先调节显微镜目镜，直至眼睛能看到清晰的分划板像。
  3. 再将物镜对准小圆柱中部，调节显微镜前后距离，然后微调显微镜旁螺丝，直到看清小圆柱中部细横线的像，并消除视差。
  4. 判断无视差的方法是：当左右或上下稍微改变视线方向时，两个像之间没有相对移动，这是读数显微镜已调节好的标志。只有无视差的调焦，才能保证测量精度。

3. 测定杨氏模量

（1）测量伸长变化量

当没有挂砝码时，调节微分筒，使读数显微镜分划板上的准线与小圆柱上某一条细横线（标记线）对齐（或与上/下边缘相切），然后在砝码盘上逐次加 砝码，每次都使准线与标记线的相位位置相同，对应的读数为

再将所加砝码逐个减去，记下对应的读数为

并将两对应读数求平均：

这样可以减小读数误差和弹性滞后等因素的影响。

（2）测量钢丝长度和直径

采用米尺测量钢丝长度 ，采用螺旋测微器测量钢丝直径 。

（3）计算杨氏模量

由公式

计算杨氏模量 ，并将测量结果与公认值进行比较。

六、数据处理

1. 钢丝直径和长度的测量

用螺旋测微器测量钢丝直径，用米尺测量钢丝长度，记录到表中。

表1. 钢丝直径和长度的测量

次数 1 2 3 ... 10 平均

2. 受力后钢丝伸长量的测量

测量 ，数据记录到表 5-3B-2 中。表中砝码质量从 开始，依次增加 ，对应记录 。

表2. 受力后钢丝伸长量的测量

砝码质量
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
400.0
450.0
500.0

实际记录时还可增加 和平均值 两列。

3. 用逐差法计算

用逐差法计算 的平均值：

逐差法中， 对应的是增加了 5 个 砝码，即质量差为

因此在代入杨氏模量公式时， 应取对应的质量差 ，而不是单个砝码的 。这一点在数据处理中需要特别注意。

4. 计算杨氏模量

根据公式

计算金属丝的杨氏模量 。其中 取与 对应的砝码质量差。

5. 计算测量结果的不确定度

文件给出不确定度计算形式为

其中最后一项在物理意义上应为伸长量 的相对不确定度。文件原文中写作 ，可理解为排版或笔误，实际计算时应使用 。

七、注意事项

  1. 加减砝码时，砝码的缺口要相互错开，动作要轻，避免震动；手勿压桌面或在桌面加减东西，保持装置稳定。
  2. 加减砝码过程应连贯进行，不能中途回转。
  3. 应等待装置基本稳定后再读数。

八、思考题

  1. 对微小伸长量的测量，除了用读数显微镜方法外，还有哪些方法？
  2. 根据不确定度的估算结果， 表达式中哪些项的影响最大？如何降低其影响？
  3. 材料相同但粗细和长度不同的两根钢丝，它们的杨氏模量是否相同？

九、实验小结

本实验通过拉伸法测量金属丝杨氏模量，核心是：

实验中用米尺测 ，用螺旋测微器测 ，用砝码提供拉力 ，用读数显微镜测量微小伸长量 。为减小误差，采用先加初始砝码、逐次加载和逐次减载并取平均的方法，并用逐差法处理伸长量数据。最后计算杨氏模量及其不确定度，并与公认值比较。

十、参考文献

[1] 钟小丽,《大学物理实验》,高等教育出版社,2020年08月

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